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考研高數復習：微積分基本定理的證明解讀

該部分包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區間連續，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數的自變量。注意該求導公式對閉區間成立，而閉區間上的導數要區別對待：對應開區間上每一點的導數是一類，而區間端點處的導數屬單側導數。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至于導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中較基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區間連續，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區間上的一個原函數，結論是f(x)在該區間上的定積分等于其原函數在區間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。

考研數學分析怎么復習？

一輪復習我開始的比較早。數學是一門基礎性，其解題能力的提高，是一個長期積累的過程，因而復習時間就應適當提前，循序漸進。輪復習先從復習數學分析課本開始，盡量動手解答課后習題，不懂得話可以向同學請教。一定做到課后題例題每一道題都親自動手做過。一定做到了解數學分析的基本內容、重點、難點和特點。比如數列極限、函數極限只是計算內容相對比較簡單，輪復習就應該把它搞定，確保以后再遇到這類題目一定能、準確的作出。

第二輪復習是在九月份，這時，數學分析課本上的東西我們大致都通讀了一遍。記得我的數學分析老師曾經說過：讀一本書一般過程是先把一本書讀厚了，再把它讀薄了。第二階段就是把書讀薄的階段。

數學分析的推理過程需要精細的推導，一旦出錯就會影響后續的計算，因此需要學生耐心細致地進行思考和計算。另外，數學分析理論體系比較完整，需要對于各個定理和公式都有一定的掌握和運用能力。